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  在我们开始探索欧拉恒等式之前,让我们先来回顾一段令人惊叹的历史。

  大约在公元前500年,希腊人认为有些数字比其他数字更重要。特别是,他们知道两个具有非凡性质的数字。这两个数字是220和284。

  在解释为什么这些数字如此有趣之前,我们需要知道什么是真约数。n的真约数,是一个比n小的自然数,它能被n整除。例如,6的真约数是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真约数之和是284,284的真约数之和是220。这种关系叫做亲和关系,数字叫做亲和数字。

  希腊人认为这是一个非常重要的关系,但他们找不到更多这样的数字。这种状态持续了大约一千年,直到伊本库拉在9世纪又发现了两对。那时候,数学中心已经从欧洲和埃及转移到阿拉伯世界,并在那里快速发展了近500年。

  伊本库拉的发现并没有传到欧洲,那里只知道一对(220,228)。直到1636年费马发现了一对。他找到的数字是17296和18416。

  在这一时期,两个数学巨人之间爆发了一场数学内战。即皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔。费马找到了一对友好的数字,因此笛卡儿必须另找一个。在1638年,他发现这两个数字分别是9,363,584和9,437,056。那时是没有计算器的。

  费马和笛卡尔发现的那两对和伊本库拉发现的是一样的。因此,2000年来,数学天才们只发现了3对亲和数。

  欧拉决定试一试,然后发现了58对亲和数!这太疯狂了。当然,欧拉不是靠蛮力试错去找的。欧拉找到了一种依靠除数和函数的特性以及一些天才的见解的方法。

  你会问,是否有无穷多对亲和数?没有人知道……这又是数学的一个谜题。

  欧拉在很多方面在数学家中都很有名,但有一种美比其他的更闪耀,它被称为数学中最美丽的等式。我将用几种不同的方式来解释这个等式,这样读者就会有一种直观的理解和数学上的理解。

  首先,我们来陈述一下。

  欧拉恒等式(1748):

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  那么为什么这种关系如此美妙呢?

  首先,正如威廉·邓纳姆所说:

  如果你想做加法你需要0,如果你想做乘法你需要1,如果你想做微积分你需要e,如果你想做几何你需要π,如果你想做复分析你需要i,这是数字的梦之队,它们都在这个方程里。

  在解释等式之前,我们先来定义一下这些数字。

  0当然是一个数字,但它是一个非常特殊的数字。它是负数和正数之间的极限,它是唯一不能被除的数,最重要的是,它是加法恒等式,也就是说x + 0=x对于所有的x都成立。

  这可能看起来微不足道,但实际上,这助孕是一个大问题,因为它是数学中群论的重要组成部分。群论是关于对称的数学,但那是另一篇文章。同样,数字1当然是乘法恒等式。

  π在数学中到处都是。从数论到概率论和三角学,但这是为什么呢?

  圆与对称性和周期性都有关系,这些现象在自然界和数学中很多不同的事件中都有发生。从热辐射到随机运动和电磁波的振动,再到统计分布的密度等等。

  π的定义当然是一个圆的周长除以它的直径,但它却不能被写成整数的分数形式。这就是我们所说的无理数。

  那么e呢?这个数字有点难定义,但我们会尝试一下。

  首先,e是一个约为2.7182818的数字,是欧拉本人在1748年首次发现的。她是无理数。欧拉发现了如何计算它:

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  欧拉在1748年就是这么写的。如果你学过微积分,那么你可能会记得微分算子有一个恒等式,也就是函数:

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  即具有下列性质:

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  这是非常重要的,因为,首先,它使我们能够解微分方程。由于几乎所有的物理定律和系统都可以用微分方程来描述,所以微分方程在物理、生物、数学等科学中都非常重要。

  因此,你可以将数字e描述为指数函数的底数,即给定时刻的变化率等于它在那一刻的值。

  那么数字i是多少?很多年来,人们不接受“i”这个数字,但话说回来,当负数第一次出现时,他们也不接受负数,所以我想这是一个成熟的问题。

  在欧拉时代,人们对这个数字知之甚少。现在,对i和使用它的函数的研究被称为复分析,当然,欧拉从一开始就引领了这一奇异的新领域。

  就像数学中的许多其他东西一样,我可以有很多不同的定义。有些比较正式。我们将坚持使用最简单的定义。i是具有以下属性的数字:

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